Description
1 Description of fluids 5 1.1 Euler and Lagrange picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Lagrange derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Divergence-free vector field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Fluid boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Phase space fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Moving fluid line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8 Internal fluid stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 Fluid equations from kinetic theory . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.10 Streamlines and Pathlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.11 Vortex line, vortex tube and line vortex . . . . . . . . . . . . . 33 1.12 Vortex sheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.13 Vector gradient in cylindrical coordinates . . . . . . . . . . . . 39 1.14 Vector gradient in orthogonal coordinates . . . . . . . . . . . . 41 1.15 Vorticity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.16 Velocity from vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.17 Bernoulli equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.18 Euler-Lagrange equation for fluids . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.19 Water waves from Euler-Lagrange equations . . . . . . . . . . 58 1.20 Stretching in an isotropic random velocity field . . . . . . . . 63 1.21 Converse Poincar lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2 Flows in the complex plane 79 2.1 Laplace equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2 Green’s theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.3 Dirichlet and Neumann boundary conditions . . . . . . . . . . 82 2.4 Mean value and maximum property . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.5 Logarithmic potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.6 Dirichlet’s principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.7 Streamfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.8 Vorticity on a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.9 Complex speed and potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.10 Analytic functions, conformal transformation . . . . . . . . . 98 2.11 Schwarz-Christoffel theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.12 Mapping of semi-infinite and infinite strips . . . . . . . . . . . 106 2.13 Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3 Vortices, corner flow and flow past plates 117 3.1 Straight vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2 Corner flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.3 Corner flow with viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.4 Flow past a flat plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.5 Blasius and Kutta-Jukowski theorems . . . . . . . . . . . . . . 132 3.6 Plane flow past a cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.7 Krmn vortex street . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.8 Corner eddy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.9 Angular momentum transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4 Jets, wakes and cavities 163 4.1 Free streamlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.2 Flow past a step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.3 Complex potential and speed plane . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.4 Outflow from an orifice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.5 A simple wake model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.6 Riabouchinsky cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.7 Levi-Civita method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.8 Kolscher’s cusped cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.9 Re-entrant jet cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4.10 Tilted wedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.11 Weinstein theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5 Kelvin-Helmholtz instability 211 5.1 Kelvin-Helmholtz circulation theorem . . . . . . . . . . . . . . 211 5.2 Bjerknes circulation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 5.3 Kelvin-Helmholtz instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.4 Vortex chain perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.5 Vortex accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 5.6 Linear stability analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 5.7 Birkhoff-Rott equation for vortex sheets . . . . . . . . . . . . . 235 5.8 Curvature singularity in evolving vortex sheet . . . . . . . . . 239 5.9 Subsequent work on Moore’s singularity . . . . . . . . . . . . 254 5.10 Nonlinear stages of K-H instability . . . . . . . . . . . . . . . . 257 5.11 Why do large eddies occur in fast flows? . . . . . . . . . . . . . 259 5.12 Atmospheric instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 5.13 Rayleigh inflexion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 5.14 Kinematics of vortex rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 5.15 Curvature and torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 5.16 Helical line vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 5.17 Knotted and linked vortex rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 5.18 Clebsch coordinates and knottedness . . . . . . . . . . . . . . . 278 6 Kinematics of waves 279 6.1 Wave basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 6.2 Group speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 6.3 Kinematic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 6.4 The wavefront . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 6.5 Waves and instability from a radiative force . . . . . . . . . . 289 7 Shallow water waves 299 7.1 Continuity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.2 Euler equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7.3 Wave equation for linear water waves . . . . . . . . . . . . . . 304 7.4 Tides in canals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 7.5 Cotidal lines and amphidromic points . . . . . . . . . . . . . . 312 7.6 Waves of finite amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 7.7 Nonlinear tides in an estuary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 7.8 Similarity solution: dam break . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 7.9 Non-breaking waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 7.10 Bores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 7.11 Poincar and Kelvin waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 7.12 Wave behind a barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 8 Free surface waves 373 8.1 Dispersion relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 8.2 Sudden impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 8.3 Refraction and breaking at a coast . . . . . . . . . . . . . . . . 383 8.4 Waves in a non-uniform stream . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 8.5 Stokes wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 8.6 Stokes singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 8.7 Crapper wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 9 Existence proof for weakly nonlinear water waves 427 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 9.2 Boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 9.3 Linear integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 9.4 Schmidt’s nonlinear integral equation . . . . . . . . . . . . . . 441 9.5 General nonlinear integral equations . . . . . . . . . . . . . . 447 9.6 Integral equations for nonlinear waves . . . . . . . . . . . . . 449 10 Sound and internal gravity waves 463 10.1 Wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 10.2 Acoustic cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 10.3 Schwarzschild criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 10.4 Gravo-acoustic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 11 Supersonic flow and shocks 479 11.1 Shock kinematics and entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 11.2 Jump conditions at shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 11.3 Shock speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 11.4 Shock entropy and supersonic inflow . . . . . . . . . . . . . . . 492 11.5 Laval nozzle and solar wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 11.6 Supersonic spots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 11.7 Solar wind exhibiting a shock pair . . . . . . . . . . . . . . . . 509 11.8 Riemann sheets for the Burgers equation . . . . . . . . . . . . 514 11.9 Characteristics for first-order equations . . . . . . . . . . . . . 520 11.10Characteristics for second-order equations . . . . . . . . . . . 527 11.11Derivatives on characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 11.12Simple waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 A Analytic and meromorphic functions 541
