Description
Das Buch wendet sich an Leser, die – ber die rein computergraphische Darstellung hinaus – an einer analytischen Untersuchung von chaotischen und nichtchaotischen Differenzen- und Differentialgleichungssystemen interessiert sind. Breiter Raum wird der Durchrechnung von Beispielen gegeben. Dargestellt werden zunchst qualitative Methoden als auch solche, die das Auffinden von Attraktoren, Bifurkationen etc. und deren Klassifikation in Abhngigkeit von den Systemparametern gestatten. Der letzte Teil schlielich widmet sich der quantitativen Beschreibung chaotischer Systeme. Dazu werden zuerst die Begriffe Chaos und Fraktal exakt definiert und dann die verschiedenen fraktalen Dimensionen, Lyapunov-Exponenten, Entropien etc. eingefhrt und durch Beispiele begrndet. Prof. Dr.-Ing. Peter Plaschko lehrt an der Universidad Autnoma Metropolitana, Mexico. Prof. Dr. rer. nat. Klaus Brod an der Fachhochschule Wiesbaden 1 Einleitung.- 2 Diskrete Systeme.- 2.1 Fixpunkte.- 2.2 Lineare und nichtlineare Abbildungen.- 2.3 Abbildungen mit chaotischem Verhalten.- 2.3.1 Die Bernoulli-Abbildung.- 2.3.2 Die logistische Parabel.- 2.3.3 Die Hnon-Abbildung.- 2.4 Die Poincar-Abbildung.- Anhang A (Verallgemeinerte Eigenvektoren und Jordan-Formen).- Aufgaben.- 3 Kontinuierliche dynamische Systeme.- 3.1 Definitionen, Existenz- und Eindeutigkeitsstze.- 3.2 Eigenschaften der Lsungen von gewhnlichen Differentialgleichungen.- 3.2.1 Stabilitt von Lsungen.- 3.2.2 Asymptotik.- 3.3 Fixpunkte.- 3.3.1 Stabilitt von Fixpunkten.- 3.3.2 Struktur von Lsungen in kleinen Umgebungen von Fixpunkten.- 3.3.3 Klassifikation von Fixpunkten.- 3.3.4 Pendelschwingungen.- 3.4 Hamilton-Systeme.- 3.5 Zentrale Mannigfaltigkeiten.- 3.5.1 Parameterabhngige zentrale Mannigfaltigkeiten.- 3.6 Normalformen.- Aufgaben.- 4 Bifurkationen.- 4.1 quivalente und konjugierte dynamische Systeme, strukturelle Stabilitt.- 4.2 Verzweigungs-Grundtypen.- 4.3 Die Sattel-Knoten-Bifurkation.- 4.4 Die transkritische Verzweigung.- 4.5 Die Pitchfork-Bifurkation.- 4.6 Die Hopf-Bifurkation.- 4.7 Methode der Projektionen.- 4.8 Stabilitt periodischer Lsungen.- Anhang A (Fredholm-Alternative).- Anhang B (Hopf-Bifurkationen in kontinuierlichen Systemen).- Aufgaben.- 5 Asymptotische Methoden.- 5.1 Die Mittelwert-Methode.- 5.2 Beispiele.- 5.3 Schwach nichtlineare Oszillatoren.- 5.4 Die Viel variablen-Methode.- Aufgaben.- 6 Homokline Bifurkationen.- 6.1 Die Standardabbildung.- 6.2 Sattelpunkte flchenerhaltender Abbildungen.- 6.3 Elliptische Fixpunkte flchenerhaltender Abbildungen und KAM-Kurven.- 6.4 Winkel- und Wirkungsvariable.- 6.5 Schwach gestrte Hamilton-Systeme.- 6.6 Das Melnikov-Kriterium.- 6.6.1 Homokline Koordinaten.- 6.6.2 Abstand zwischen stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten gestrter Systeme.- 6.6.3 Definition der Melnikov-Funktion.- 6.7 Verallgemeinerungen des Melnikov-Kriteriums.- 6.7.1 Heterokline Bifurkationen.- 6.7.2 Melnikov-Kriterium fr eine Klasse von Hamilton-Systemen mit zwei Freiheitsgraden.- 6.8 Das Shilnikov-Phnomen.- Aufgaben.- 7 Bifurkationen mit hherer Ko-Dimension.- 7.1 Verallgemeinerung der Grundtypen von Bifurkationen eindimensionaler Systeme.- 7.1.1 Eindimensionale Systeme mit kubischen Nichtlinearitten.- 7.1.2 Eindimensionale Systeme mit quartren Nichtlinearitten.- 7.2 Die Ko-Dimension dynamischer Systeme.- 7.2.1 Eindimensionale Systeme.- 7.2.2 Ebene Systeme.- 7.2.2.1 Zweidimensionale Potential-Systeme.- 7.2.2.2 Allgemeine zweidimensionale Systeme.- 7.3 Dynamik von Bifurkationen mit Ko-Dimension Zwei.- 7.3.1 Ein doppelter Eigenwert.- 7.3.2 Zwei Paare rein imaginrer Eigenwerte.- Anhang A Versale Entfaltung von Matrizen.- Aufgaben.- Quantitative Methoden der Beschreibung nichtlinearer und chaotischer Systeme.- 8.1 Der (Phasen-)Flu autonomer Vektorfelder.- 8.2 Nicht-autonome dynamische Systeme.- 8.3 Zur Begriffsbildung bei chaotischen Systemen.- 8.4 Der Lyapunov-Exponent.- 8.4.1 Lyapunov-Exponenten fr diskrete, eindimensionale Systeme.- 8.4.2 Lyapunov-Exponenten mehrdimensionaler Systeme.- 8.4.3 Numerische Bestimmung der Lyapunov-Exponenten.- 8.4.4 Lyapunov-Exponenten und Attraktorvolumen.- 8.5 Die Autokorrelationsfunktion.- 8.5.1 Die Autokorrelationsfunktion diskreter Systeme.- 8.5.2 Die Autokorrelationsfunktion kontinuierlicher Systeme.- 8.6 Das Leistungsspektrum.- 8.6.1 Das Leistungsspektrum diskreter Systeme.- 8.6.2 Das Leistungsspektrum kontinuierlicher Systeme.- 8.7 Fraktale Strukturen und Dimensionen.- 8.7.1 Selbsthnlichkeit und Selbstaffinitt.- 8.7.2 Fraktale, Hausdorff-Dimension.- 8.7.2.1 Zufallsfraktale.- 8.7.2.2 Multi-Fraktale.- 8.7.3 Selbsthnlichkeits-Dimension.- 8.7.4 Box-Dimension.- 8.7.5 Die informationsdimension.- 8.7.6 Korrelationsdimension.- 8.7.7 Lyapunov-Dimension.- 8.7.8 Die Rnyi-Dimension.- 8.7.9 Die Kolmogorov-Entropie.- 8.8 Rekonstruktion eines Attraktors aus einer Zeitreihe.- Aufgaben.- Literatur.- Sachwortverzeichnis.
