Description
1 N-body problem 11 1.1 Self-gravitating systems of massive points . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Fundamental rst integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Conservation of momentum . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Angular momentum conservation . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.3 Energy conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 Barycentric and relative systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4 N-body problem solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5 Virial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 The two-body problem 31 2.1 Motion about center of mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Reduction to the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 E ective potential energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 The trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Laplace{Runge{Lenz vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6 Geometry of conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6.2 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6.3 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7 Conic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.7.1 Elliptical orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7.2 Parabolic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.7.3 Hyperbolic orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.8 Keplerian elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.9 Ephemerides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.10 The method of Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.11 Ballistics and space ight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3 The three-body problem 85 3.1 Stationary solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.1.1 Collinear solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.2 Triangular solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2 The restricted problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3 Zero{velocity curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.3.1 The (x; y) plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.3.2 The (x; z) plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3.3 The (y; z) plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.4 About the Lagrangian points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.5 Stability of the Lagrangian points . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.5.1 The equilibrium conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.5.2 Collinear solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.5.3 Triangular solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.6 Variation of the elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.6.1 Variation of the orientation elements . . . . . . . . . . . 116 3.6.2 Variation of the geometric elements . . . . . . . . . . . . 118 4 Analytical mechanics 125 4.1 Lagrange function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.2 Generalized coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.3 Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.4 Hamilton function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5 Canonical equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.6 Constants of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.7 Elliptical orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.8 Canonical transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.8.1 Characteristic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.8.2 Forms of the characteristic function . . . . . . . . . . . . 154 4.8.3 Canonicity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.8.4 Canonical invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.8.5 In nitesimal canonical transformations . . . . . . . . . . 163 4.8.6 Canonical systems of motion constants . . . . . . . . . . 168 4.8.7 Canonical elements for elliptical orbit . . . . . . . . . . . 175 4.9 Jacobi equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.9.1 Jacobi equation: special cases . . . . . . . . . . . . . . . 182 4.9.2 2{body problem with Hamilton{Jacoby . . . . . . . . . . 186 4.10 Element variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4.10.1 Constant variation method: an example . . . . . . . . . 194 4.11 Apsidal precession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4.12 Orbits in General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5 Gravitational potential 207 5.1 Gauss theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.2 Theorens of Poisson and Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.3 Potential of a massive point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.4 Spherical bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.5 Legendre equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.5.1 Spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.5.2 Legendre equation and spherical harmonics . . . . . . . . 223 5.5.3 Associated Legendre function . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.5.4 Spherical harmonics of integer degree . . . . . . . . . . . 227 5.6 Expansion of the potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 5.7 Thin layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.8 Homogeneous spheroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 5.9 Potential of a homogeneus ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . 238 5.10 Ellipsoid: outer point potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.11 Potential: explicit form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 5.12 Earth distortion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 5.13 Potential with dominating body . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 5.14 Torus potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 A Spherical trigonometry elements 261 B Transformation formulas 267 C Vector operators 271 D The mirror theorem 275 E Kepler’s equation 277 E.1 Lagrange’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 E.2 Fourier’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 E.3 Numerical solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 F Hydrogen atom 283 F.1 Bohr’s atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 F.2 Quantum approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 G Variation of constants 287 H Lagrange multipliers 291 H.1 Variation of constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 I Visual binary orbits 295 J Three bodies: planarity 301 K Gravitational impact 305 L Poisson and Lagrange brackets 309 L.1 Poisson brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 L.2 Lagrange brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 L.3 Brackets of Poisson and Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 M Special functions 315 M.1 Gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 M.2 Beta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 M.3 Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 M.3.1 First kind Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 M.3.2 Second kind Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . 323 M.3.3 Hankel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 M.3.4 Modi ed Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 M.3.5 Spherical Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 M.4 Hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 M.5 Error function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 N Orthogonal functions 331 N.1 Least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 N.2 Orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 N.3 Legendre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 N.4 Spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 N.5 Application of spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . 348 N.6 Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 N.7 Application of Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 352 N.8 Laguerre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 N.9 Chebyshev polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 O Harmonic functions 357 O.1 Special problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 P Principles of mechanics 363 P.1 Variational formulation of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 P.2 Conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 P.3 Maupertuis’s principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 P.4 Geodesic lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Q Invariance and conservation 373 Q.1 Continuous trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Q.2 Time-invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Q.3 Invariance to translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Q.4 Rotational invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 R Numerical methods 377 R.1 The Euler method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 R.2 Implicit Runge-Kutta method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 R.3 Runge-Kutta fourth-order method . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
